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Équations différentielles

Définition

Une équation différentielle est une équation qui contient une ou plusieurs dérivées d’une fonction inconnue. On distingue deux types d’équations différentielles :

• Les équations différentielles ordinaires (EDO) : l’inconnue est une fonction d’une seule variable.
• Les équations aux dérivées partielles (EDP) : l’inconnue est une fonction de plusieurs variables.

Résolution

Méthode de séparation des variables

Équation	Méthode de résolution
$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$	$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$
$\frac{dy}{dx} = f(x) + g(y)$	$\int \frac{dy}{g(y) - f(x)} = \int dx$

Méthode de variation de la constante

On résout l’équation homogène associée, puis on cherche une solution particulière de l’équation complète.

Méthode de Laplace

On applique la transformée de Laplace à l’équation différentielle.

Exemple

Équation différentielle linéaire d’ordre 1

Soit l’équation différentielle suivante :

\[\frac{dy}{dx} + y = 0\]

On cherche une solution de la forme $y = e^{\lambda x}$.

On a donc :

\[\lambda e^{\lambda x} + e^{\lambda x} = 0\] \[\lambda + 1 = 0\] \[\lambda = -1\]

La solution générale de l’équation différentielle est donc :

\[y = C e^{-x}\]

avec $C$ une constante réelle.

Équation différentielle linéaire d’ordre 2

Soit l’équation différentielle suivante :

\[y'' + y = 0\]

On cherche une solution de la forme $y = e^{\lambda x}$.

On a donc :

\[\lambda^2 e^{\lambda x} + e^{\lambda x} = 0\] \[\lambda^2 + 1 = 0\] \[\lambda^2 = -1\] \[\lambda = \pm i\]

La solution générale de l’équation différentielle est donc :

\[y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\]

avec $C_1$ et $C_2$ des constantes réelles.

Équation différentielle linéaire d’ordre 2 avec second membre

Soit l’équation différentielle suivante :

\[y'' + y = \sin(x)\]

On cherche une solution de la forme $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$.

On a donc :

\[-C_1 \cos(x) - C_2 \sin(x) + C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) = \sin(x)\] \[C_2 = 1\]

La solution générale de l’équation différentielle est donc :

\[y = C_1 \cos(x) + \sin(x)\]

avec $C_1$ une constante réelle.

Équation différentielle linéaire d’ordre 2 avec second membre non homogène

Soit l’équation différentielle suivante :

\[y'' + y = e^x\]

On cherche une solution de la forme $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + C_3 e^x$.

On a donc :

\[-C_1 \cos(x) - C_2 \sin(x) + C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + C_3 e^x = e^x\] \[C_3 = 1\]

La solution générale de l’équation différentielle est donc :

\[y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + e^x\]

avec $C_1$ et $C_2$ des constantes réelles.

Équation différentielle linéaire d’ordre 2 avec second membre non homogène et conditions initiales

Soit l’équation différentielle suivante :

\[y'' + y = e^x\]

avec les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y’(0) = 0$.

On cherche une solution de la forme $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + e^x$.

On a donc :

\[C_1 + C_3 = 1\] \[-C_2 + C_1 + C_3 = 0\] \[C_1 = 1\] \[-C_2 + 1 + 1 = 0\] \[C_2 = -2\]

La solution particulière de l’équation différentielle est donc :

\[y = \cos(x) - 2 \sin(x) + e^x\]