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Loi Binômiale

Définition

Soit $n$ un entier naturel non nul et $p$ un réel de $[0,1]$. On dit qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ si $X$ prend ses valeurs dans ${0,1,2,…,n}$ et si pour tout $k$ de ${0,1,2,…,n}$, on a :

\[P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]

Espérance

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Alors :

\[E(X) = np\]

Variance

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Alors :

\[V(X) = np(1-p)\]

Exemple

On lance 100 fois une pièce de monnaie, de manière indépendante et aléatoire. On note $X$ le nombre de fois où la pièce est tombée sur pile. On suppose que la pièce est équilibrée. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0.5$.

On a donc :

\[E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50\] \[V(X) = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25\]